Question

数学题目

求详解

Answer 1

设a、b ∊R，且满足a²+b²-6a-4b+12=0；(1)。求a²+b²的最大最小值；(2)。求b/a的取值范围；(3)。求a+2b的取值范围。
解：a²+b²-6a-4b+12=(a-3)²+(b-2)²=1，因此可把数对(a，b)看作园心为M(3，2)，半径r=1的园上的
动点P的坐标。因此：
(1)。a²+b²的最大最小值就是动点P到原点(0，0)的距离的最大最小值。很明显，这个最大最小值都
发生在园心M与原点O的连线上。OM所在的直线与园有两个交点；远交点A到原点的距离OA的平方就是a²+b²的最大值，近交点B到原点的距离OB就是a²+b²的最小值。
设OM的倾角为α，那么tanα=2/3，sinα=2/√13；cosα=3/√13；
A点的坐标：a=(1+√13)cosα=(1+√13)(3/√13)；b=(1+√13)sinα=(1+√13)(2/√13)；
故max(a²+b²)=(1+√13)²(9/13+4/13)=(1+√13)²=14+2√13.
B点的坐标：a=(√13-1)cosα=(√13-1)(3/√13)；b=(√13-1)sinα=(√13-1)(2/√13)；
故min(a²+b²)=(√13-1)²(9/13+4/13)=(√13-1)²=14-2√13.
(2)。b/a是动点P与原点(0，0)的连线的斜率；显然，b/a的最大最小值就是过原点所作园的两条切线的斜率。设切线方程为y-kx=0，园心M到切线的距离=∣2-3k∣/√(1+k²)=1，即有∣2-3k∣=√(1+k²),
平方去根号得4-12k+9k²=1+k²；8k²-12k+3=0，故k=(12±√48)/16=(3±√3)/4；
即(3-√3)/4≦b/a≦(3+√3)/4.这就是b/a的取值范围。
(3)。a+2b的取值范围：
设a=3+cost，b=2+sint，那么a+2b=3+cost+4+2sint=7+cost+2sint=7+cost+tanφsint
=7+cost+(sinφ/cosφ)sint=7+(1/cosφ)(costcosφ+sintsinφ)=7+(1/cosφ)cos(t-φ)
其中tanφ=2，sinφ=2/√5，cosφ=1/√5；代入上式得：
a+2b=7+(√5)cos(t-φ)，因为-1≦cos(t-φ)≦1，所以7-√5≦a+2b≦7+√5，这就是a+2b的取值范围。

Answer 2

(1)a^2+b^2-6a-4b+12=0
=>(a-3)^2+(b-2)^2=1
可以设参数sinr,cosr.a-3=sinr,b-2=cosr(三角换元)
a^2+b^2=(sinr+3)^2+(cosr+2)^2=1+9+4+6sinr+4cosr=14+2(3sinr+2cosr)=14+2(√13)sin(r+k),(k为参数)
可以由三角函数的最值解得Max=14+2(√13),Min=14-2(√13)

(2)b/a=(cosr+2)/(sinr+3)(利用万能公式化为只有一个参数tan(r/2)，有点麻烦，可能还有更好的算法。)

(3)a+2b解法与第一问同
答案：[5+√2,5-√2]

PS:三角换元是高1的基本思路啊，再简单的就不是高1了。这是最简单的，写得有点复杂。