Question

如图，在△ABC中，AB=AC

①若P为BC上的中点，求证：AB²-AP²=PB·PC；
②若P为BC上的任意一点，①中的结论是否成立，并证明；
③若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系。

Answer 1

(1)因为△ABC为等腰三角形，P为BC中点
所以AP⊥BC
RT△ABP中，AB²-AP²=PB²
因为PB=PC，所以PB²=PB×PC
因此AB²-AP²=PB×PC
(2)假设P在BC中点H左边（右边一样，AC=AB），连接AH
RT△ABH中，AB²=AH²+BH²
RT△APH中，AP²=AH²+PH²
所以AB²-AP²=BH²-PH²=（BH+PH）（BH-PH）
因为BH=CH，BH+PH=CH+PH=PC，BH-PH=PB
所以AB²-AP²=PB×PC
(3)P在BC延长线上，连接A与BC中点H
RT△ACH中，AC²=AH²+CH²
RT△APH中，AP²=AH²+PH²
AP²-AC²=PH²-CH²=（PH+CH）（PH-CH）
因为AB=AC，AB²=AC²
且BH=CH，PH+CH=PH+BH=PB，PH-CH=PC
所以AP²-AB²=PB×PC

Answer 2

AB=AC
P为BC上中点
故AP垂直于BC
由勾股定理得
AB^2-AP^2=BP^2
BP=CP
故BPPC=BP^2=AB^2-AP^2

追问

=v=没答完整哦