Question

08高考全国一卷数学第22题

谁能详细解答一下，把答案每步步骤说明一下，为什么这样做
汗，我不要答案，我问的是为什么这样做！！！！

Answer 1

原题：

函数f(x)=x-xlnx，数列{an}满足0<a1<1，且a(n+1)=f(an)。
（1）证明：f(x)在区间(0,1)是增函数
（2）证明：an<a(n+1)<1
（3）设a1<b<1，整数k>=(a1-b)/(a1*lnb)，证明a(k+1)>b

标准答案：

(1)f'(x)=-lnx
1＞x＞0时f'(x)＞0,f(x)单调递增
x＞1时f'(x)＜0,f(x)单调递减

(2)f(1)=0因是增函数因此a(n+1)=f(an)＜1,
证明an＜a(n+1)只需证a(n+1)-an＞0
代入a(n+1)=f(an)、f(x)=x-xlnx可知
a(n+1)-an=-lnan＞0即得证

(3)a(k+1)=ak(1-lnak)=a1(1-lna1)(1-lna2)……(1-lnak)＞a1(1-klnak)由a1＜b＜1,整数k≥(a1-b)/(a1×lnb)可得a(k+1)＞b成立

前两问比较简单，详细解释一下第三问：

由-lnai>0(i=1,2,3,...),
有a1(1-lna1)(1-lna2)……(1-lnak)=a1(1+(-lna1)+(-lna2)+……+(-lnak)+A)>a1(1+(-lna1)+(-lna2)+……+(-lnak)),
（A是关于（-lnai）的各余项，显然A>0）
又（-lnai）>(-ln(i+1))，故a1(1+(-lna1)+(-lna2)+……+(-lnak))>a1(1+(-lnak)+(-lnak)+……+(-lnak))=a1（1+k(-lnak)）

即a（k+1）>a1（1+k(-lnak)）

由：k≥(a1-b)/(a1×lnb),a1＜b＜1得
a（k+1）>a1（1+k(-lnak)）≥a1（1+(a1-b)/(a1×lnb)(-lnak)）
整理得：（a（k+1）-a1)/(b-a1）>(-lnak)/(-lnb)

如果ak≥b，则a(k+1)>b成立
否则(-lnb）<(-lnak)即（-lnak)/(-lnb)>1
即：（a（k+1）-a1)/(b-a1）>1
所以：a(k+1)>b成立