Question

一个高中数学题求解！

已知球O的半径为R，圆柱内接于球，当内接圆柱的体积最大时，高等于？

Answer 1

设圆柱的高是h 那么圆柱中心到与球面的接点的距离即为R,利用勾股定理，上底面的半径r的平方＝R的平方－h平方／4
所以圆柱体积v=П*(r平方)*h＝П*h*(R的平方－h平方／4)
可以将h看作这个式子中的变量函数，则通过变换得到v=-1/4*П*[h*(h+2R)*(h-2R)] 这里v肯定是正数，故推理得h必小于2R 所以v=1/4*П*[h*(h+2R)*(2R-h)]
根据不等式原理，上式v≤1/4*П*(h的平方＋8/3*R的平方) 所以当[h*(h+2R)*(2R-h)] = (h的平方＋8/3*R的平方)时体积才能最大
这是个三元方程,排除h为负数和0的两个答案,最后得h=根号下(20/3R的平方+1/4) +1/2
那么也可再根据勾股定理得r

Answer 2

设高为h，圆柱底面半径为r，体积用V表示，列方程。
（h/2）^2+r^2=R^2
V=πr^2*h
=π[R^2-(h/2)^2]h
稍微注意的是，这里R是已知量，h是自变量，V是因变量，这是一个关于h的一元三次方程。用求导的方式求最大值。