Question

线性代数：二次型

对于任意一个n元二次型f=x（T）Ax, 一定存在正交变换x=Py,PP(T)=En，

想知道那个正交变换怎么理解？》？x=Py.....

Answer 1

前面的矩阵相似对角化学了吧？就是一个矩阵相似于其特征值组成的对角阵。其特征值对应特征向量组成矩阵为P，P^-1AP=B，还记得这个吧。二次型这个完全是一回事

现在来说一下二次型是什么，二次型就是实对称阵。
先说下实对称阵的2个重要特点
1，实对称阵必然可以相似对角化
2，实对称阵可以用正交矩阵相似对角化
所谓二次型的正交变化就是A矩阵相似对角化的过程而已

上面公式的推导过程是这样的
X=PY
X^TAX=（PY）^TAPY=(Y^T)( P^T) AP Y
我们对A相似对角化，然后对特征向量组成的正交化变成P，B为对角阵。有P^-1AP=B,正交矩阵有P^-1=P^T，得出P^TAP=B

带到上式中， 就变成Y^TBY了

所以说正交变换就是求特征值特征向量。比较特殊的是二次型必须要用 正交矩阵 相似对角化，所以求出P之后要正交化和单位化。

不懂可追问，纯手打，求最佳

Answer 2

正交变换就是, 系数矩阵P是正交矩阵,即是PP^T=E或者P^T=P^{-1}.