Question

若x,y∈(0,+∞),x+2y+xy=30 (1)求xy的取值范围 （2）求x+y的取值范围

若x,y∈(0,+∞),x+2y+xy=30(1)求xy的取值范围（2）求x+y的取值范围

Answer 1

x+xy=30-2y
x=(30-2y)/(1+y)
xy=(30y-2y^2)/(1+y)
设1+y=t, y=t-1
xy=[30(t-1)-2(t-1)^2]/t
=(-2t^2+34t-32)/t
=34-2(t+16/t)
因为x\y是正数，1<t<16 (30-2y>0)
当t=4时，xy(max)=34-16=18
t=1或16时，xy(min)=34-34=0 (只能无限接近)
0<xy<=18x+2y+xy=30,
则y=(30-x)/(x+2),
因为y>0, (30-x)/(x+2) > 0,
所以0<x<30.
设x+2=t,则x=t-2,2<t<32.
x+y= x+(30-x)/(x+2)
=t-2+(32-t)/t
=t-2+32/t-1
= t+32/t-3……利用基本不等式
≥2√(t•32/t)-3=8√2-3.
函数t+32/t在[0,4√2]上递减，在[ 4√2,+∞）上递增，
因为2<t<32，所以t=32时，t+32/t最大，t+32/t-3<30.
∴x+y∈[8√2-3,30).

Answer 2

把一侧都换成跟y有关的，另一侧跟x有关完了设出跟x有关的内个分母，把它换成一个别的函数形式（注意取值），应该是一个双曲线吧，