Question

谢谢你们，求下列不定积分？

Answer 1

原式=1/2∫x^2/(a^2+x^2)^(3/2)dx^2
=1/2∫(x^2+a^2-a^2)/(a^2+x^2)^(3/2)dx^2
=1/2∫[1/√(x^2+a^2)-a^2/(a^2+x^2)^(3/2)]dx^2
=√(x^2+a^2)+1/4*a^2/(a^2+x^2)^(1/2)+C

追问

=-a^2/(a^2+x^2)^(3/2)]dx^2

这一步怎么来了啊=1/4*a^2/(a^2+x^2)^(1/2)

追答

-a^2/(a^2+x^2)^(3/2)]dx^2

=-a^2/(a^2+x^2)^(3/2)]d(a^2+x^2)

会了吧

追问

• 再问一下：-∫x^3/2dx=-2/5x^5/2+c对吗？

• 这一步怎么来了啊=a^2/(a^2+x^2)^(1/2)
  

      谢谢您

追答

对的
晕菜，这是最基本的积分呀，你积分表没背熟吗？

追问

负∫a^2/(a^2+x^2)^(3/2)]dx^2
应该是=负2/5*(a^2+x^2)^5/2+c
怎么来的= a^2/(a^2+x^2)^(1/2)+C

追答

这里面有两项呀，这个是前一项的积分
∫1/√xdx=2√x+C

追问

对呀，这一项我知道啊啊，那后一项那？ 关键是后一项啊，拜托了啊啊，，亲

追答

我晕，
原式=1/2∫x^2/(a^2+x^2)^(3/2)dx^2
=1/2∫(x^2+a^2-a^2)/(a^2+x^2)^(3/2)dx^2
=1/2∫[1/√(x^2+a^2)-a^2/(a^2+x^2)^(3/2)]dx^2
=1/2∫1/√(x^2+a^2)dx^2-1/2∫a^2/(a^2+x^2)^(3/2)]dx^2
=1/2∫1/√(x^2+a^2)d(a^2+x^2)-a^2/2∫1/(a^2+x^2)^(3/2)]d(a^2+x^2)
=√(x^2+a^2)+1/4*a^2/(a^2+x^2)^(1/2)+C
还有问题吗？

追问

谢谢你，麻烦你了，，，，，，我知道哪儿错了啊啊

Answer 2

答：
∫ x³/(a²+x²)^(3/2) dx
=(1/2) ∫ (a²+x²-a²)/(a²+x²)^(3/2) d(x²+a²)
=(1/2) ∫ 1/(a²+x²)^(1/2) -a²/(a²+x²)^(3/2) d(a²+x²)
=(a²+x²)^(1/2) -(a²/2)*(-1/2)*(a²+x²)^(-1/2)+C
=√(a²+x²)+a²/[4√(a²+x²)]+C

追问

亲这一步不怎么来的那，=(a²+x²)^(1/2) -(a²/2)*(-1/2)*(a²+x²)^(-1/2)+C

追答

把a²+x²看成整体
根据公式：(x^n)'=nx^(n-1)
然后逆应用上述公式就可以了

比如：n-1=-1/2，
解得：n=1/2
比如：n-1=-3/2
解得：n=-1/2
就是这样得来的