Question

已知：a＞b＞c＞d,求证：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)≥9/(a-d)

如题

Answer 1

用柯西不等式应该可以。证明：因为a＞b＞c＞d,
所以要证正确只需证：(a-d)[1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)]≥9 ,
又因为a-d=(a-b)+(a-c)+(c-b),9=(1+1+1）^2, 则(a-d)[1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)]＝[(a-b)+(a-c)+(c-b)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)^2=9.即1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)≥9/(a-d)。备注：这里用到的是柯西不等式公式中的这个：(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac＋bd)^2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。应用到此题，即为：[(a-b)+(a-c)+(b-c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥[(a-b)*1/(a+b)+(a-c)*1/(b+c)+(b-c）*1/(c+a)]^2≥(1+1+1)^2=9.即即1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)≥9/(a-d)。

Answer 2

你要证的是不是1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-d)≥9/(a-d)解：[1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-d）](a-d) =[1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-d）][(a-b)+(b-c)+(c-d)] 令a-b=x，b-c=y，c-d=z原式=（1/x+1/y+1/z)*(x+y+z) =3+x/y+y/x+x/z+z/x+y/z+z/y ≥3+2+2+2=9所以，原式可证