Question

大学高等数学，积分学

在八分之一球面x^2+y^2+z^2=5r^2(x>=0,y>=0,z>=0)上求一点使得函数f(x,y,z)=xyz^3达到最大，并写出最大值

Answer 1

简单分析一下即可，详情如图所示

Answer 2

X^2+Y^2+Z^2-5r^2+那马达（XYZ^3)=0. ……（1）

XYZ^3=f(x,y,z)......(2)

对这个式子，分别对X,Y,Z,那马达求偏导，得出四个方程式。
联立解出X,Y,Z的值，即得到所求点p(X,Y,Z)，（点不止一个，每个点都带进（2）式子，最大值即为所求点）

Answer 3

可以用球面坐标变换去做：
下面过程中a=（根号5）*r
设x=a cosp, y=a sinp cosq, z=a sinp sinq, p,q的范围是[0,Pi/2]
则f=a^3 cosp (sinp)^4 cosq (sinq)^3
在设t=cosp, s=cosq, 其中s,t的范围是[0,1]
则f=f(t,s)=a^3 t(1-t^2)^2 s(1-s^2)^(3/2),看成s，t的二元函数，定义域在闭的单位正方形[0,1]*[0,1]里面。

下面只需在闭正方形里面求f的最大值就可了：
注意到，在正方形边界上，f恒等于0，故只需在开正方形（0,1）*（0,1）中求极大值即可。

下面在开正方形（0,1）*（0,1）中考虑：
f关于t的偏导数f_t=a^3 (1-t^2)(1-3t^2) s(1-s^2)^(3/2)=0，得到t=1/(根号3)；
f关于t的偏导数f_s=a^3 t(1-t^2)^2 (1-s^2)^(1/2) (1-4s^2)=0，得到s=1/2.
故可得到在t=1/(根号3)，s=1/2，即在球面上点（sqrt(5/3)r,sqrt(5/6)r,sqrt(5/2)r）处，f达到最大值（5/12）sqrt(5)r^3.

Answer 4

乍一看起来似乎用拉格朗日乘子法可以解决。您确定是积分学的问题吗？