Question

高一数学

若a为正整数， f(x)=ax²-(a+2)x+1 在【0,1】上最小值为 -1，则a=

答案是 a= 2 或 1

求过程

Answer 1

解：
f(x)=ax²-(a+2)x+1
=a[x-(a+2)/2a]²+1-(a+2)²/4a
f(x)的对称轴为x=(a+2)/2a
(1)当对称轴在0的左边，即(a+2)/2a≤0时，f(x)在x=0处取得最小值
此时f(0)=1,不符合题意
(2)当对称轴在1的右边时，即(a+2)/2a≥1时，f(x)在x=1时取得最小值
(a+2)/2a≥1
a≤2
此时f(1)=a-a-2+1=-1，符合题意
a的值为1或2
（3）当对称轴在0到1之间时，即0<(a+2)/2a<1时，f(x)在顶点处取得最小值
0<(a+2)/2a<1
a>2
此时f(x)=1-(a+2)^2/4a=-1
a^2-4a+4=0
(a-2)^2=0
a=2，不属于a的范围
综上所述，a的值为1或2

Answer 2

由题意知a>0，二次函数开口向上
且当x=0时，f(x)=1
对称轴x=1/2+1/a>0
当1/2+1/a<=1,即a>=2时，函数在对称轴x=1/2+1/a处取得最小值，代入方程可解得a=2
当1/2+1/a>1,即a<2时，函数在x=1处取得最小值，代入直接可知最小值为-1
综上可知a=2

Answer 3