Question

初二数学截长补短题

要有图啊

Answer 1

例1 已知：如图1-1所示，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC， 求证：∠A + ∠C = 180° 分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造等腰三角形，可通过“截长补短法”来实现. 证明： 在BC上截取BE=AB，连接DE，再取EC的中点M，连接DM ∵ AB = BE 又∵ BD平分∠ABC A D ∴ ∠ABD = ∠EBD 在△ABD与△EBD中, AB = BE ∠ABD = ∠EBD BD = BD B E M C ∴△ABD≌△EBD（SAS） 如图1-1 ∴ AD = ED ∠A = ∠BED ， ∵AD = DC ， ∴ED = DC ∴∠ C = ∠DEC ∴∠A + ∠C = ∠BED +∠DEC = 180° 例2 已知：如图2-2，AE//BC，AD、BD分别平分EAB、CBA，EC过点D。 求证：AB=AE+BC 分析一：要证AB=AE+BC观察AD、BD是角平分线，因而可将DAED沿A翻折，从而需添加辅助线在AB上截取BF=BC，只需要推证出AF=AE，则可以使问题得以解决，那么如何推证AF=AE成为解决问题产关键。由于DAED、DADB、DBD的内角和都是180°，且EDC=180°，又由于AE//BE，因此E+C=180°从而EAB+CBA=180°，由AD、BD是角平分线，可推出1+4=90°，从而可推证出ADB=90°，因而6+8=90°。若能推证出7=8，那么只需要推证出DAED≌DAFD，从而可推证出AE=AF、由于BC=BF，1=2，BD是公共边，因此可推证出DBFD≌DBCD，则5=6，由于5+7=90°因此，6+7=90°，又由于6+8=90°，从而可推出7=8，由此可由AD是公共边，3=4推证出DAED≌DAFD，从而思路畅通，推证出AE=AF，由等量代换可推证出AB=AE+BC。 证明一：在AB上截取BF=BC，连结DF。 ∴ BD是ABC的平分线，∴1=2 在DBDF和DBDC中 （公共边） ∴DBDF≌DBDC(SAS) 如图2-2 ∴5=6（全等三角形对应角相等） ∴3+8+E=4+1+5+7=2+6+C=180°（三角形内角和定理） ∴E+EAB+ABC+C+EDC=540° 又∴AE//BC∴E+C=180°（两直线平行同旁互补） 又∵EDC=180°∴1+2+3+ 4=180° ∴AD是EAB的平分线 ∴3=4 ∴1+4=90° ∴5+7=90°（三角形内角和定理） ∴6+8=90° ∵5=6 ∴ 7=8 在DAED和DAFD中 ∴DAED≌DAFD (ASA) ∴AE=AF（全等三角形对应边相等） ∵ AF+FB=AB ∴AE=FB=AE+BC=AB 即AB=AE+BC 分析二：延长BC交AD的延长线于F。要证AB=AE+BC，只需要证明BF=AB，只需要推证出CF=AE。而要证CF=AE，只需要推证出含有CF、AE 的两个三角形DAED≌DFCD由于5=6，AE//BC，因此可推出3=F，若要推证出AD=FD，成为解决问题的关键，由于四边形AECB的内角和等于360°，E+BCE=180°，因此可知EAB+CBA=180°，又由于AD、BD是EAB、CBA的平分线，从而可推出1+4=90°，因此ADB=90°，则EDB=90°，推到此，他们通过观察图形可根据ASA推证出DABD≌DFBD，从而推证出AD=FD，思路形成。 证明二：如图2-3,延长BC、AD交于F 在DAED、DADB、DBDC中 三个三角形的内角和共为540°（三角形内角和定理） 又∵EDC=180°（平角定义） ∴E+C+EAB+ABC=180° AE//BC ∴ （两直线平行同旁内角互补） ∴3+4+1+2=180° 又∴AD、BD分别是EAB、ABC的平分线 ∴3=4，1=2（角平分线定义） ∴1+4=90° ∴ADB=90°（三角形内角和定理） ∴BDF=90° 在DADB和DBDF中 ∴DADB≌DBDF(ASA) ∴AD=FD, AB=FB，4=F（全等三角形对边，对应角相等） 如图2-3 在DAED和DFCD中 ∴DAED≌DFCD ∴AE=FC ∵ BF=BC+FC ∴BF=BC+AE ∴AB=AE+BC 例3 已知：如图3-1所示，AD为△ABC的角平分线，AB＞AC, 求证：AB—AC＞BD—DC 分析：欲证AB—AC＞BD—DC，需把AB与AC的差，BD与DC的差或它们相等的量转化为同一个三角形的边，再利用三角形三边的关系加以证明。 证明： 方法一： 截长法 在AB上截取AE = AC，连接ED。 A ∵AD平分∠BAC ∴ ∠BAD = ∠DAC 在△ADE与△ADC中, E AE = AC ∠EAD= ∠DAC B D C AD = AD 如图3-1 ∴ △ADE≌△ADC （SAS）∴ D E = D C 在△ABD中，BE ＞ BD —DE （三角形两边之差小于第三边） 即AB—AE＞BD—DC ∴ AB—AC＞BD—DC （等量代换） 方法二： 补短法 延长AC到点E，使AE = AB，连接DE A ∵AD平分∠BAC ∴ ∠BAD = ∠DAC 在△BAD与△EAD中, AB = AE C ∠BAD = ∠DAC B D E AD = AD ∴ △ADE≌△ADC （SAS） ∴ D B= D E 如图3-2 在△ABD中， EC ＞DE —DC （三角形两边之差小于第三边） 即AE—AC＞DE—DC ∴ AB—AC＞BD—DC 例4 已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2. 求证：AB=AC+CD. 分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC. 证明：方法一（补短法） 延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，如图4-2 图4-2 ∴∠ACB＝2∠E， ∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E， 在△ABD与△AED中, ∴△ABD≌△AED（AAS） ,∴AB=AE. 图4-3 又AE=AC+CE=AC+DC， ∴AB=AC+DC. 方法二（截长法） 在AB上截取AF=AC，如图4-3 在△AFD与△ACD中, ∴△AFD≌△ACD（SAS）,∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD. 又∵∠ACB＝2∠B， ∴∠FDB＝∠B， ∴FD=FB. ∵AB=AF+FB=AC+FD， ∴AB=AC+CD.