Question

如图RT三角形ABC中,角C=90°,BC=6,AC=8,点P,Q都是斜边AB上的动点

如图，直角三角形ABC中，角C=90度，BC=6，AC=8，点P,Q都是斜边AB上的动点（不与点B重合),点P从B向A运动，BP=AQ，点D,E分别是点A,B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H。当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动。设BP的长为x，三角形HDE的面积为y。
（1）求证：三角形DHQ∽三角形ABC；
（2）求Y关于X的函数解析式和Y的最大值.
加快加快

Answer 1

A与D关于Q对称，所以AQ=DQ
QH⊥AB，所以QH为垂直平分线，所以DH=HA
所以△AHD为等腰三角形，∠A=∠HDQ
且∠HQD=∠C=90°
两个角对应相等，所以三角形DHQ∽三角形ABC

BP=AQ=x，DQ=x，PE=BP=x，因为BC=6，AC=8，所以AB=10
DE=10-x-x-x-x=10-4x（5＞x≥0）
DE=AD-AB+BE-AB+AB=4x-10（10≥x≥5）
根据上题结论有QH：BC=QA：AC，QH=3x/4
y=1/2 QH*DE=1/2 * 3x/4 *(10-4x)=3x(5-2x)/4 （5＞x≥0）
或者y=3x（2x-5）/4 （10≥x≥5）