Question

二重积分问题，懂得进，看图

请写上理由或是解释。谢谢了

Answer 1

x=rCosθ

y=rSinθ

r^2=x^2+y^2

∴1≤r≤2，为r的上下限

dxdy实际是d(r^2/2)dθ

故变形时转化成rdrdθ

追问

请问是怎么看出“dxdy实际是d(r^2/2)dθ”的呢
可以细致点吗

追答

(r^2/2)dθ是一块扇形的面积，d(r^2/2)dθ就是两块同心扇形间的面积，就是所要的面积微分。那这样子说，面积微元近似看作矩形，也是两块同心扇形夹的面积，有
[(r+dr)^2dθ-r^2dθ]/2={[2rdr+(dr)^2]dθ}/2=rdrdθ会不会好理解些呢？如果不需要几何解释，就用雅各比行列式推导，书上都会有的。
其实我觉得几何解释都有些牵强，保留地看待吧，用它们帮助理解，但不是当作最终解释，真正要明白还是得看代数方面的书。不过如果要求并不是那么高，只需要一定程度的运用，用几何解释帮助记忆也是不错的。

Answer 2

追问

请问这里的面积微元是怎么求出来的呢

追答

这个微元是概念上的划分：

1、在直角坐标系中，英文是rectangular coordinates，或Cartesian coordinates，
我们将x从-∞ 到+∞ ，y从-∞ 到+∞ 的平面上，划分成无数个小小的微元，宽dx，
高dy，面积是dxdy。

2、在极坐标系中，polar coordinates，我们将上面的XY平面，划分成无数个圆环，
每个圆环的圆心都在坐标轴的原点，圆环的宽度是dr，圆环的半径从0到+∞ 。
这些圆环可以称为是ring，也可以称为是track；

再把这些同心圆环划分成无数段，也就是无数个小弧，arc，每个小弧对原心所
张开的角度为dθ，每个小弧的弧长是 rdθ，近似的用长方形的面积计算，小弧
的面积就是 (rdθ)dr，划分的越细，这个计算就越准确。

由于dr、dθ都是无穷小，(rdθ)dr 就成了计算微小弧长的面积了，代入积分表达
式中，替换dxdy。

在理论上也是可以处理的，只是太绕圈子了。

Answer 3

设x=rcosθ，y=rsinθ，θ∈[0,2π]
1≤r²cos²θ+r²sin²θ≤4得1≤r≤2
原积分=∫(0→2π)dθ∫(1→2)rf(rcosθ,rsinθ)dr