Question

求解一道高中数列题！

Answer 1

解：
（1）由题意知：
f(x)=(px+1)/(x+1),∴f^(-1)(x)=(1-x)/(x-p)
∵f(x)=f^(-1)(x)
∴p=-1,an=(1-n)/(n+1)
(2)∵正整数cn的前n项和Sn=1/2(cn+n/cn)
∴c1=1/2(c1+n/c1)
∴c1=1
当n≥2时，cn=Sn-S(n-1)
∴2Sn=Sn-S(n-1)+n/(Sn-S(n-1))
Sn+S(n-1)=n/(Sn-S(n-1))
Sn²-S(n-1)²=n
S(n-1)²-S(n-2)²=n-1
...
S2²-S1²=2
累加得：Sn²=1+2+3+..+n=(n+1)n/2
∴Sn=√(n+1)n/2
(3)在（1）（2）的条件下，d1=2,∴D1=2
当n≥2时，设dn=-1/(anSn²)=2/n(n-1)
∴Dn=d1+d2+..+dn
=2[1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+..+(1/n-1)-1/n]
=2(2-1/n)
∵Dn＞log(a)(1-2a)恒成立
∴log(a)(1-2a)＜Dnmin
而Dn是一个单增数列
∴Dnmin=D1=2
∴log(a)(1-2a)＜2
∴a要满足：
a＞0且a≠1，1-2a＞0∴0＜a＜1/2
log(a)(1-2a)＜2=loga(a²)
∴1-2a＞a²
∴a²+2a-1＜0
∴-1-√2＜a＜√2-1
综上可知0＜a＜√2-1