一元二次方程的两个实数跟与二次项系数、一次项系数、常数项有什么关系?

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匿名用户
2013-08-22

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[编辑本段]韦达定理　　韦达（Vieta's ，Francois，seigneurdeLa Bigotiere）1540年出生于法国普瓦捷,1603年12月13日卒于巴黎。早年在普法捷学习法律，后任律师，1567年成为议会的议员。在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码，赢得很高声誉。法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。
　　他1540年生于法国的普瓦图。1603年12月13日卒于巴黎。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。
　　韦达定理实质上就是一元二次方程中的根与系数关系
　　韦达定理(Viete's Theorem）的内容
　　一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中
　　设两个根为X1和X2
　　则X1+X2= -b/a
　　X1*X2=c/a
　　韦达定理的推广
　　韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0
　　它的根记作X1,X2…,Xn
　　我们有
　　∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
　　∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
　　…
　　ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
　　其中∑是求和，Π是求积。
　　如果一元二次方程
　　在复数集中的根是，那么
　　法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
　　由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程
　　在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：
　　其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。
　　韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
　　韦达定理的证明
　　设x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解。
　　有:a(x-x1)(x-x2)=0
　　所以　ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2=0
　　通过对比系数可得：
　　-a(x1+x2)=b ax1x2=c
　　所以　x1+x2=-b/a x1x2=c/a
　　韦达定理推广的证明
　　设x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。
　　则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0
　　所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i　（在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理）
　　通过系数对比可得：
　　A（n-1）=-An(∑xi)
　　A（n-2）=An(∑xixj)
　　…
　　A0==(-1)^n*An*ΠXi
　　所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
　　∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
　　…
　　ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
　　其中∑是求和，Π是求积。