Question

2013年天津数学文科卷20题，答案。

Answer 1

嗯，打字有点慢。
引用一下不介意吧？

解：（I）令f1(x)＝x3−(a+5)x(x≤0)，f2(x)＝x3−
a+3
2
x2+ax(x＞0)．
①
f
′
1

(x)＝3x2−(a+5)，由于a∈[-2，0]，从而当-1＜x＜0时，
f
′
1

(x)＝3x2−(a+5)＜3−a−5≤0，
所以函数f1（x）在区间（-1，0）内单调递减，
②
f
′
2

(x)＝3x2−(a+3)x+a=（3x-a）（x-1），由于a∈[-2，0]，所以0＜x＜1时，
f
′
2

(x)＜0；
当x＞1时，
f
′
2

(x)＞0，即函数f2（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，∞）上单调递增．
综合①②及f1（0）=f2（0），可知：f（x）在区间（-1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；
（II）证明：由（I）可知：f′（x）在区间（-∞，0）内单调递减，在区间(0，
a+3
6
)内单调递减，在区间(
a+3
6
，+∞)内单调递增．
因为曲线y=f（x）在点Pi（xi，f（xi））（i=1，2，3）处的切线相互平行，从而x1，x2，x3互不相等，且f′(x1)＝f′(x2)＝f′(x3)．
不妨x1＜0＜x2＜x3，由3
x
2
1

−(a+5)＝3
x
2
2

−(a+3)x2=3
x
2
3

−(a+3)x3+a．
可得3
x
2
2

−3
x
2
3

−(a+3)(x2−x3)＝0，解得x2+x3＝
a+3
3
，从而0＜x2＜
a+3
6
＜x3．
设g（x）=3x2-（a+3）x+a，则g(
a+3
6
)＜g(x2)＜g(0)＝a．
由3
x
2
1

−(a+5)＝g(x2)＜a，解得−

2a+5
3

＜x1＜0，
所以x1+x2+x3＞−

2a+5
3

+
a+3
3
，
设t=

2a+5
3

，则a＝
3t2−5
2
，
∵a∈[-2，0]，∴t∈[

3

3
，

15

3
]，
故x1+x2+x3＞−t+
3t2+1
6
＝
1
2
(t−1)2−
1
3
≥−
1
3
，
故x1+x2+x3＞−
1
3
．

还有什么疑问，可以继续追问

追问

恩，先谢谢了

追答

序列号和公式有问题，等下，我继续传

嗯，我上传图片可以吗？

追问

第二问第一句为什么？

可以

追答

追问

完全看不清

好了

第二问第一句为什么？

追答

啊，哦。手机。。。。。】
箐优网的公式不兼容。。。
等下我再找找

追问

没事没事，已经好了

追答

那太好了。
采纳我吧，我这么帅气的好孩纸。

追问

第二问第一句为什么？ 解释一下……

追答

嗯，第一问是应为求导得出区间的