Question

一道高中数列题，求过程，求详解！在线等~

Answer 1

第一问我貌似算复杂了，不过Sn验证了前几个都是对的。
（1）
当n=2k+1时，a（2k+1）/a（2k-1）=-2，a1=1.
故a（2n-1）是首项a1=1，公比q=-2的等比数列。

当n=2k+2时，a（2k+2）/a2k=2，a2=2.
故a2n是首项a2=2，公比q=2的等比数列。

∴a（2n-1）=（-2）^（n-1），a2n=2^n。

当n=2k时，Sn=a1+a2+..+a（2k-1）+a2k。
其中奇数项、偶数项各有k项，k=n/2.
故Sn=（1-（-2）^k）/3+2^（k+1）-2.
则Sn=（1-（-2）^（n/2））/3+2^（n/2+1）-2.

当n=2k-1时，Sn=a1+a2+...+a（2k-2）+a（2k-1）
其中奇数项有k项，偶数项有（k-1）项，k=（n+1）/2.
故Sn=（1-（-2）^k）/3+2^k-2.
则Sn=（1-（-2）^（（n+1）/2））/3+2^（（n+1）/2）-2.

综上，n=2k-1时，Sn=（1-（-2）^（（n+1）/2））/3+2^（（n+1）/2）-2.
n=2k时，Sn=（1-（-2）^（n/2））/3+2^（n/2+1）-2.

（2）
观察Sn=a1+a2+...+an=1+2-2+4+4+8-8+16+16+32-32........
得S1=1，S2=3，S3=1....S5=9，S6=17，S7=9.
若要使Sn=Sm（n≠m，n、m∈N*），则需满足a（n+1）=-am，且m=n+2.
从而有S1=S3，S5=S7，S9=S11........S（4k-3）=S（4k-1）。
令4k-1≤100，得k≤101/4。
∴共有101/8＞12对满足。
综上，共有12对满足。

追问

刚刚在网上看到有人这样做的帮忙看一下对不对哈：
当n为奇数时，an=2^[(n-1)/2]*(-1)^[(n-1)(n+3)/4]
当n为偶数时，an=2^（n/2）
观察a1到a11，知道正负的周期性变化。
a2=2，a3=-2，a4=4，a5=4
所以相等的对有 S1与S2，S3与S5……
对数为：（99+1）/4=25

追答

其实和我这个差不多，我只是说的更代数化。
不过我貌似多除了个2,101/4就约等于25，我搞成25个了，所以才说12对。

追问

也就是在最后：
令4k-1≤100，得k≤101/4。
∴共有101/8＞12对满足。
综上，共有12对满足。
这里错了吧。

追答

嗯，k≤101/4即k≤25，故有25对。我之前当成25个了，所以后面除了个2整成12对。