Question

已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0 （1）若y=f（x）在[-π 4 ，2π 3 ]上单调递增，求ω的取值

2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移 π/6
个单位，在向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值．

Answer 1

（1）已知函数y=f（x）在[−π /4 ，2π /3 ]上单调递增，且ω＞0，利用正弦函数的单调性可得π /2ω ≥2π /3 ，且−π /2ω ≤−π /4 ，解出即可；
（2）利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到g（x）=2sin2(x+π/ 6 )+1．令g（x）=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若b-a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，mπ+a]（m∈N*）恰有2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，即可得到a，b满足的条件．进一步即可得出b-a的最小值．

解得0＜ω≤3/ 4 ．
（2）f（x）=2sin2x，∴把y=f（x）的图象向左平移π 6 个单位，在向上平移1个单位，得到y＝2sin2(x+π 6 )+1，
∴函数y=g（x）=2sin2(x+π 6 )+1，
令g（x）=0，得x＝kπ+5π/ 12 ，或x=kπ+3π/ 4 （k∈Z）．
∴相邻两个零点之间的距离为π/ 3 或2π/ 3 ．
若b-a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]（m∈N*）分别恰有3，5，…，2m+1个零点，
所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，
∴b−a−14π≥π/ 3 ．
另一方面，在区间[5π/ 12 ，14π+π /3 +5π /12 ]恰有30个零点，
因此b-a的最小值为14π+π/ 3 ＝(43π) /3 ．

Answer 2

对于第一问：f(x)的跨零点单调增区间是[-π/2w,π/2w],因此[-π 4 ，2π 3 ]∈[-π/2w,π/2w]，则2π/3<= π/2w（找绝对值大的2π/3即可，因为区间关于原点对称），解得0<w<=3π/4;
第二问：令x'=x-π/6,y'=y+1,则x=x'+π/6,y=y'-1代入可得g(x')=2sin(w(x'+π/6))+1；
令g(x')=0，即2sin(w(x'-π/6))+1=0→求得x',然后找出x'的所有解中，a的最大值和b的最小值即为结果。具体可参考一楼。