Question

数学题一道，求各路老师解答，需要详细步骤，谢谢了！

Answer 1

设a-b=m,b-c=n,c-a=k
则m+n+k=0,k=-(m+n)
根号下1/（a-b）的平方+1/（b-c）的平方+1/（c-a）的平方=根号下(1/m^2+1/n^2+1/k^2)
1/m^2+1/n^2+1/k^2=1/m^2+1/n^2+1/(m+n)^2
=(m^2+n^2)/(m^2n^2)+1/(m+n)^2
={[(m+n)^2-2mn](m+n)^2+m^2+n^2}/[mn(m+n)]^2
=(m+n-mn)^2/[mn(m+n)]^2
根号下(1/m^2+1/n^2+1/k^2)=|m+n-mn|/|mn(m+n)|
因为a,b,c为两两不相等的有理数,
所以)=|m+n-mn|/|mn(m+n)|是有理数
即题目得证

Answer 2

令M=A-B，N=B-C，P=C-A，则M+N+P=0
则原式被开方数=1/M方+1/N方+1/P方=（N方P方+M方P方+M方N方）/（MNP）方
其分子=P方（M方+N方）+M方N方
=P方[（M+N）方-2MN]+M方N方
=（M+N）方[（M+N）方-2MN]+M方N方
=（M+N）四-2（M+N）MN+M方N方
=（M+N-MN）方
所以，原式为有理数