Question

若a＞0,b＞0,且1/a+ 1/b=√ab，求a3+b3的最小值

Answer 1

1/a+1/b＝√(ab)
→(a+b)^(2/3)＝ab≤[(a+b)/2]^2
→(a+b)[(a+b)^2-8]≥0.
而a、b>0,则a+b>0,
∴(a+b)^2≥8,即a+b≥2√2.
故依权方和不等式得
a^3+b^3
＝a^3/1^2+b^3/1^2
≥(a+b)^3/(1+1)^2
＝(2√2)^2/4
＝4√2.
∴a＝b且a+b＝2√2,
即a＝b＝√2时，
所求最小值为：4√2。

追问

1/a+1/b=√ab怎么得到(a+b)^(2/3)=ab的啊

追答

1/a+1/b＝√(ab)
→(a+b)/ab＝√(ab)
→a+b＝(ab)√(ab)
→a+b＝√(ab)^3
→(a+b)^2＝(ab)^3
→(a+b)^(2/3)＝ab≤[(a+b)/2]^2（基本不等式）
→(a+b)/2≥(a+b)^(1/3)
→(a+b)≥8(a+b)
→(a+b)[(a+b)^2-8]≥0.
a、b>0时,a+b>0.
∴(a+b)^2-8≥0,
∴a+b≥2√2.
以下省略。

追问

(a+b)^2＝(ab)^3
→a+b)^(2/3)＝ab这里还是不明白。。。麻烦你了

追答

(a+b)^2＝(ab)^3
两边开三次方根，得
[(a+b)^2]^(1/3)＝[(ab)^3]^(1/3)
(a+b)^(2/3)＝ab.
4个月不结题，是逗我玩的吧？

追问

没有啊，没上来看。。。。。