Question

已知0<α<π\2<β<π,tanα/2=1\2,cos(β-α)=(根号下2)\10.(1)求sinα的值(2)求β的值

求详细解释

Answer 1

∵tan α/2=1/2
∴sinα=2tanα/2 / 1+tan²α/2 =1/(1+1/4)=4/5
∵0<α<π/2 ∴ cosα=3/5
∵cos (β-α ） = √2/10
∵0<α<π\2<β<π , ∴0<(β-α)<π/2
∴sin(β-α)=√98/10=7√2/10
∵sinβ=sin（β-α+α）=sin(β-α ）cosα +cos(β-α ）sinα
=7√2/10 * 3/5+√2/10 *4/5
=（21√2+4√2）/ 50
=25√2/50
=√2/2
∵π\2<β<π
∴β=3π/4

Answer 2

解：1 . ∵sinα=2sin(α/2)cos(α/2).
=2tan(α/2)/[1/cos^2(α/2)]. 【分子，分母同除以cos^2(α/2)】
=2tan(α/2)/sec^(α/2).
=2tan(/α2)/[1+tan^2(α/2).
sinα=2*(1/2)/[1+(1/2)^2].
=1/(5/4).
∴sinα=4/5.
∵ cosβ=cos(β-α+α).
∴cosβ=cos(β-α)cosα-sin(β-α)sinα.
cosα=±√(1-sin^2α)=3/5 (∵0<α<π/2, cosα>0)
∴cosα=3/5.
sin(β-α)=±√[1-cos^2(β-α)]
=±7√2/10. 【∵π/2<β<π, 0<α<π/2, π/2<β-α<π.，sin(β-α)>0】
∴sin(β-α)=7√2/10
cosβ=(√2/10)*(3/5)-(7√2/10)*4/5.
=(1/50)(3√2-28√2).
=-(25√2)/50.
＝-√2/2.
∴β=3π/4 。 符合π/2<β<π的要求。