Question

若函数f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3,求f(0)+f(4)的值。

Answer 1

设g(x)=f(x)-x，则g(1)= g(2) =g(3)=0。
看成方程g(x)=0的解有x=1，2，3。
又因为f(x)为一元四次函数并且最高次项的系数为1，因此g(x)也是最高次项的系数为1的一元四次函数，
所以可设g(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-m)=x4-(6+m)x3+(11+6m)x2+(6-11m)x-6m
将g(1)=0代入上式可求得m=1。
所以g(x)=(x-1)^2(x-2)(x-3)
又f(x) = g(x)+x，
所以可得：
f(0)+ f(4)=1*（-2）*（-3）+0+3^2*2*1+4=6+18+4=24+4=28

追问

谢谢了，

Answer 2

解：f(1)=1+a+b+c+d=1 → a+b+c+d=0 （1）
f(2)=16+8a+4b+2c+d=2 （2）
f(3)=81+27a+9b+3c+d=3 （3）
f(4)=256+64a+16b+4c+d
f(0)=d
由（1）（2）（3）这三个式子可得
a=-6-(1/6)d
b=11+d
c=-5-(11/6)d
将其代入即可得
f(4)+f(0)=256+64a+16b+4c+2d
=2×(128+32a+8b+2c+d)
=2×(128+31a+7b+c)
=2×[128-186-(31/6)d+77+7d-5-(11/6)d]
=28

明教为您解答，
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祝您学业进步!

追问

好的