Question

不常见的二重积分交换积分次序问题？求大侠解释！！

求大侠解释？！

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Answer 1

交换积分次序的要点就是弄清楚两变量的制约关系到底是什么.

比如上面那道题(答案有误,应为arccosρ/2),积分区域就是{-π/4<=θ<=π/2,0<=ρ<=2cosθ}.易见ρ最小为0,最大为2.关键一步就在于求θ受ρ的限制.首先-π/4<=θ<=π/2,并有cosθ>=ρ/2.这里要注意不能乱用反三角.足够仔细地观察cosθ的图像,当0<=ρ/2<=sqrt(2)/2时,限制等价于-π/4<=θ<=arccos(ρ/2),当sqrt(2)/2<=ρ/2<=1时限制等价于-arccos(ρ/2)<=θ<=arccos(ρ/2).于是交换积分次序得原积分等于

下面那道也是一样的方法。这种题目没有什么常见与否,一般而言解题思路都是相同的,你不妨一试.如有问题请追加。