Question

设二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)，对于x属于R恒成立，且f(x)=0的两个实数根的平方和为10

f(x)的图像经过点（0,3），求f(x)的解析式

Answer 1

解由f(x)的图像经过点（0,3），
知c=3
又由f（2-x）=f（2+x）
故函数的对称轴为x=2
即x=-b/2a=2
即b=-4a
故设f（x）=ax^2-4ax+3
即ax^2-4ax+3=0的两个实数根的平方和为10
设为x1，x2为方程的两根
即x1+x2=4，x1x2=3/a
又由x1^2+x2^2=10
得（x1+x2）^2-2x1x2=10
即4^2-6/a=10
即6/a=6
解得a=1

Answer 2

设f(x)=ax^2+bx+c

若f(x)的图象过点(0,3)

则f(0)=c=3、f(x)=ax^2+bx+3

若f(2+x)=f(2-x)对于x∈R恒成立

则对称轴为x=-b/(2a)=2、b=-4a，f(x)=ax^2-4ax+3

设方程f(x)=0的两根为x1、x2

由韦达定理得：x1+x2=4、x1x2=3/a。

x1^2+x2^2=(x1+x2)-2x1x2=16-6/a=10、a=1

所以，f(x)=x^2-4x+3

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