Question

线性代数二次型问题

第一题：用正交变换化二次型为标准型，并指出二次型的秩及正负惯性指数。第二题：求可逆矩阵C，使得CTAC 为对角阵。第一题我用|A-λE|算特征向量，怎么算都算不出来，麻烦给位帮帮忙，把过程给我列出来下至于第二题，我也用|A-λE|算不出来，但是我看了答案上写的特征值是2、-2、-4，然后我用配方法算出来也是这三个特征值，可是特征值的和难道不是原矩阵对角项的和吗，原矩阵对角项的和是0啊，但是特征值的和是-4，不但这一个题，还有其他题也是这样，明明对角项的和为零，但是他的特征值的和不为零，为什么呢？求解希望能把过程列出来，如果答案详细，我会加分的，拜托！

Answer 1

解: 二次型的矩阵 A =
0 1 -3 0
1 0 0 -3
-3 0 0 -1
0 -3 -1 0

|A-λE|=
-λ 1 -3 0
1 -λ 0 -3
-3 0 -λ -1
0 -3 -1 -λ

r3*(-1/3),r4*(-1/3)
-λ 1 -3 0
1 -λ 0 -3
1 0 λ/3 1/3
0 1 1/3 λ/3

r1+λr3-r4, r2+λr4-r3
0 0 (λ^2-10)/3 0
0 0 0 (λ^2-10)/3
1 0 λ/3 1/3
0 1 1/3 λ/3

= (λ^2-10)^2/9.

所以A的特征值为 √10,√10,-√10,-√10

追问一下 我看看第二题

追问

麻烦您再看下第二题，谢谢。

追答

第二题 是求合同变换, 可以写出对应的二次型, 用配方法化为标准形
我估计答案中是合同变换而不是正交相似,所以你说的2、-2、-4就不是特征值

若非要求特征值
把|A-λE|展开,为-(λ^3-4λ-4)=-(λ+2)(λ^2-2λ-2), 得 λ=-2,1±√3

追问

嗯，答案给的是一个元素为2、-2、-4的对角阵，这三个数确实不是特征值，但是通过变换得到的对角阵中的元素不应该是特征值么，被绕晕了，求详细回答，先谢谢了。

追答

合同变换得到的标准形中 并不特征值, 并且不唯一(可为任意同正负的值)
相似变换或正交变换才对应特征值

追问

懂了懂了，太感谢。可是第一题算√10和-√10的特征向量一样诶，不是不同的特征值对应的特征向量线性无关么？

追答

怎么会一样呢? 一正一负

追问

刚才算错…非常谢谢老师。

追答

不客气