Question

已知数列an,bn,cn满足[a(n+1)-an][b(n+1)-bn]=cn

1）设cn=2^n+n,an=n+2013,当b1=1时，求数列bn的通项公式
2）设cn=n^3,an=n^2-8n,求正整数k,使得一切n∈正实数，均有bn≥bk

Answer 1

(1)a(n+1)-an=(n+1+2013)-(n+2013)=1
∴b(n+1)-bn=cn/[a(n+1)-an]=cn=2^n+n
∴bn-b(n-1)=2^(n-1)+n-1
...
b2-b1=2^1+1
累加的：bn-b1=(2^1+2^2+..+2^(n-1))+(1+2+3+..+n-1)
=2×(1-2^(n-1))/(1-2)+(1+n-1)(n-1)/2
=2^n-2+n(n-1)/2
∴bn=2^n+n(n-1)/2-1
(2)a(n+1)-an=(n+1)²-8(n+1)-n²+8n=2n-7
∴b(n+1)-bn=n³/(2n-7)
当b(n+1)-bn＞0时，2n＞7,n≥4
∴b4＜b5＜b6＜..
当b(n+1)-bn＜0时,n≤3
∴b1＞b2＞b3
∵n=3时，b4-b3=3³/(-1)＜0
∴b4＜b3
∴b4最小
∴k=4

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Answer 2

1)当an=n+2013时，an为等差数列，所以a(n+1）-an=(n+1)+2013-(n+2013)=1,b(n+1)-bn=cn=2^n+n,bn-b(n-1)=2^(n-1)+(n-1)...,b2-b1=2^1+1，依次累加 有bn=2[2^(n-1)-1]+n*(n-1)/2
2)an=n^2-8n时，[a(n+1)-an]=2n+1-8=2n-7,正整数k,使得一切n∈正实数，均有bn≥bk,则有
b(k+1)≥bk,且b(k-1)≥bk,而b(n+1)-bn=n^3/(2n-7) ,又n=1,n=2,n=3,时，有b3<b2<b1,b3<b4<b5...(因为可以对2n-7的正负性讨论），所以，最小k值为3

Answer 3