Question

在有极限的情况下 f(x)《g(x). 得出limf(x)《limg(x). 如何用定义证明。

用极限定义

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Answer 1

　　这个教材上的证明用的是反证法，这应该是习题，学生就应该要自己做，才是自己的。
　　证 设
　　　　lim(x→a)f(x) = A，lim(x→a)g(x) = B。
对任意 ε>0，依定义，存在η>0，使得当 0<|x-a|<η 时，有
　　　　|f(x)-A| < ε，|g(x)-B| < ε，
此时
　　　　A-ε < f(x) ≤ g(x) < B+ε，
得
　　　　A < B+2ε，
由ε>0 的任意性，得知 A≤B，得证。