Question

已知直线y=-x+3与x轴交于B点，与y轴交于C点，抛物线y=ax²+bx+3经过A、B、C点，且点A的坐标是（-1,0）

1）求抛物线的函数表达式（2）如图1，边长为2的正方形DEFG的顶点D与点B重合，G在x轴上（且在点D右侧），E、F在第一象限，将正方形DEFG以每秒一个单位的速度延x轴向左移动，在运动过程中，设正方形DEFG与△OBC重叠部分的面积为S，运动是时间为t秒（0＜t≤3），求s与t时间的函数关系式（3）如图2，点P（1，k）在直线BC上，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以AMNP为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点M坐标，不存在，说明理由。
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Answer 1

(1)

B(3, 0), C(0, 3)

抛物线过A, B(3, 0), y = a(x + 1)(x - 3)

x = 0, y = -3a = 3, a = -1

y = -x² + 2x + 3

(2)

开始时，D(3, 0), E(3, 2), F(5, 2), G(5, 0)

t秒时(0＜t≤3)：D(3 - t, 0), E(3 - t, 2), F(5 - t, 2), G(5 - t, 0)

当E在BC上时，E(1, 2), 3 - t = 1, t = 2，此时G和B重合

0< t ≤ 2时, 重叠部分为三角形，底为DB = 3 - (3 - t) = t, 高h = DB, S = t²/2

2< t ≤ 3时，重叠部分为原正方形减去右上角的等腰直角三角形。

令EF与BC交于P(1, 2)，FG与BC交于Q

Q的横坐标和G相同，为5 - t，纵坐标为3 - (5 - t) = t - 2, Q(5 - t, t - 2)

右上角的等腰直角三角形的直角边长l = 2 - (t - 2) = 4 - t

S = 2*2 - (1/2)(4 - t)² = -t²/2 + 4t - 4

(3)
P(1, 2)

一类显然的解是从P做x轴的平行线, 与抛物线交于N(1 + √2, 2), N'(1 - √2, 2)

此时M分别为M(-1 + √2, 0), M'(-1 - √2, 0)

另一类中取M(m, 0), 过M作AP的平行线，与抛物线交于N, 然后看MN是否与PA相等

AP² = 8

AP的斜率为1, MN的斜率也是1, 方程为y = x - m

y = -x² + 2x + 3 = x - m

前者与第一类相同；后一类请自己验证。