Question

在三角形ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,向量m=(1,ksinA),向量n=(sinA,1+c

在三角形ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,向量m=(1,ksinA),向量n=(sinA,1+cosA）。已知m平行于n，若sinB+sinC=√3sinA，求k的取值范围，谢谢

Answer 1

m=(1,ksinA)，n=(sinA,1+cosA)
m∥n，即：sinA/1=(1+cosA)/(ksinA)
即：ksinA^2=1+cosA
即：k(1+cosA)(1-cosA)=1+cosA
即：k=1/(1-cosA)
sinB+sinC=√3sinA
即：b+c=√3a
即：b^2+2bc+c^2=3a^2
即：b^2+c^2-a^2=2a^2-2bc
故：cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
=(2a^2-2bc)/(2bc)
=a^2/(bc)-1
cosA∈(-1,1)，故：-1<a^2/(bc)-1<1
即：0<a^2/(bc)<2
且：b+c=√3a≥2√(bc)
即：3a^2≥4bc
即：a^2/(bc)≥4/3
故：4/3≤a^2/(bc)<2
1-cosA=2-a^2/(bc)
故：-2<-a^2/(bc)≤-4/3
即：0<2-a^2/(bc)≤2/3
即：0<1-cosA≤2/3
即：1/(1-cosA)≥3/2
即：k≥3/2