Question

线性方程组解的判别

分为齐次和非齐次的 秩的方法和克拉默的方法都列举一下

Answer 1

①克拉默法则
对于线性方程组：

若满足其其系数的行列式不等于零，即

那么，原方程组有唯一解

注：对于齐次线性方程组而言，若D≠0，则方程组没有非零解，即唯一解为 X1=X2=···=Xn=0

②矩阵的秩：将线性方程组的增广矩阵 B=(A,b) 通过矩阵的初等变换，化为它的标准形
(I)方程组无解的充要条件为 R(A)＜R(B)；
(II)方程组有唯一解的充要条件为 R(A)=R(B)=n；
(III)方程组有无穷解的充要条件为 R(A)=R(B)＜n.

注：对于齐次线性方程组，有R(A)=R(B)恒成立，故方程组仅有(II)、(III)两种情况。

Answer 2

§14 线性方程组有解的判别定理 现在我们可以更加清楚地讨论线性方程组有解的条件了。 设有n 元线性方程组 如果方程组有解，就称方程组为相容的，否则就称为不相容的。记 = ,j=1,2,…n , β= ，X = 线性方程组 (14-1) 可写成向量方程的形式 =β 即 = 或写成矩阵方程的形式 AX=β 其中， A= 是系数矩阵。 　易见下述结论等价： （1 ） 线性方程组(14-1 有解; (2) 向量β可以由向量组 线性表示； (3) 向量组 与向量组 , β等价; (4) 系数矩阵A= 与增广矩阵 = 的秩相等. 从而我们得到线性方程组 (14-1) 有解的判别定理 . 定理14.1 线性方程组(14-1) 有解的充分必要条件是它的系数矩阵 A 与增广矩阵 有相同的秩. 定理14.1 与§4 用Gauss 消元法解线性方程组的判定方法是一致的 . 这是因为, 用行初等变换把 化成阶梯行矩阵 的同时,A 也化成了阶梯行矩阵 B, 并且B 就是由 的前n 列所组成, 因此出现“ ”当且仅当R(A) = R( ) -1, 从而方程组无解 ; 否则, 一定有R(A)=R( ), 从而方程组有解 . 推论14.2 线性方程组(14-1) 有解时, 如果R(A)=n, 那么方程组只有唯一解 ; 如果R(A) < n, 那么, 方程组有无限多解 . 考虑齐次线性方程组 记 A= X= , 式 可写成 AX=0 如果 = 是方程组(14-4) 的解 , 那么 X= = 称为齐次线性方程组 (14-4) 的一个解向量 , 或称为它的一个解 . 显然,X=0 就是齐次线性方程组 (14-4) 的解 . 因此齐次线性方程组解的集合 S= 是非空的. 推论14.3 齐次线性方程组 AX=0 有非零解的充分必要条件是 R(A)<n . 显然, 当m=n 时, (14-4) 有非零解的充分必要条件是 |A| = 0. 特别地, 当 m<n 时, (14-4) 必有非零解.

Answer 3