Question

n[2^(1/n)-1]的极限

步骤详细点，谢谢各位大神

Answer 1

昨天做过
lim{[a^(1/n)+b^(1/n)]/2}^n
=e^lim n*ln{[a^(1/n)+b^(1/n)]/2}
而ln{[a^(1/n)+b^(1/n)]/2}=ln{1+{[a^(1/n)+b^(1/n)]/2}-1}~{a^(1/n)+b^(1/n)]/2}-1
原式化为 e^lim (n/2)*[a^(1/n)-1+b^(1/n)-1]
而a^x-1=xlna+o(x)
所以a^(1/n)-1+b^(1/n)-1=(1/n)*(lna+lnb)+o(1/n)
原式又化为 e^lim (n/2)*[a^(1/n)-1+b^(1/n)-1]
=e^lim(n/2)*[(1/n)*(lnab)+o(1/n)]
=e^lim ln(ab)^(1/2)
=(ab)^(1/2)

追问

你的答案貌似和我的问题不着边啊，这个ab是分别是多少？

Answer 2

n趋于无穷时，lim n[2^(1/n)-1]=lim [2^(1/n)-1]/(1/n)=lim [(1/n)ln2]/(1/n)=ln2

追问

lim [2^(1/n)-1]/(1/n)=lim [(1/n)ln2]/(1/n)这里面ln2是怎么变换得来的呢

追答

x趋于0，a^x-1等价于xlna

追问

x趋于0，a^x-1等价于xlna是怎么推导出来的，我听同学说过这个公式，但是他也只是看辅导书上的，将不出来？
反正你的答案我肯定会选取，但是能不能讲仔细点呢？

追答

x趋于0，lim (a^x-1)/xlna洛必达法则=xlna/lna=1,所以a^x-1等价于xlna