Question

已知向量a=（sinx，cosx），b=（cosx，-cosx），f（x）=α•（α+β）

（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求f(x)的单调增区间；
（3）若函数g(x)=f(x)-k,x∈(0,π/2).其中k∈R，讨论函数g(X)的零点。

Answer 1

f(x)=a*(a+b)=a^2+a*b=1+sinxcosx-(cosx)^2=1+1/2*sin(2x)-[1+cos(2x)]/2
=1/2*sin(2x)-1/2*cos(2x)+1/2
=√2/2*sin(2x+π/4)+1/2
（1）最小正周期为 T=2π/2=π 。
（2）由 -π/2+2kπ<=2x+π/4<=π/2+2kπ 得 -3π/8+kπ<=x<=π/8+kπ ，
所以函数增区间为 [ -3π/8+kπ，π/8+kπ] ，k∈Z 。
（3）因为 x∈（0，π/2），所以 2x+π/4∈（π/4，5π/4），
那么 f(x)∈（0，(√2+1)/2 ] ，
因此当 k<=0 时无零点；
当 0<k<=1 时，惟一零点；
当 1<k<(√2+1)/2 时，两个零点；
当 k=(√2+1)/2 时，惟一零点；
当 k>(√2+1)/2 时，无零点。