Question

如何用极坐标法计算椭圆的面积啊

x=a·cos@
y=b·sin@
角度的积分范围是0~2 PI
极径的范围应该是多少啊？
极径的范围我用的是0到a·cos@和b·sin@的平方和开根号，可计算结果不对，到底哪里错了啊？

Answer 1

在给定的平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x=f(t),y=φ(t)，(1)且对于t的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点m(x，y)都在这条曲线上，那么方程组(1)称为这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数称为参变数，简称参数。类似地，也有曲线的极坐标参数方程ρ=f(t),θ=g(t)。(2)
圆的参数方程x=a+rcosθy=b+rsinθ(a,b)为圆心坐标r为圆半径θ为参数
椭圆的参数方程x=acosθy=bsinθa为长半轴长b为短半轴长θ为参数
双曲线的参数方程x=asecθ(正割)y=btanθa为实半轴长b为虚半轴长θ为参数
[1]首先极坐标是个坐标,不是方程.不能说极坐标是参数方程.曲线的直角坐标方程、极坐标方程及参数方程只是曲线的3种表达方式，可以相互转化.
[2]参数方程转化为曲线方程就是找到x、y之间的关系,消去参数.
对于lz所给题目，可见（x/a）开3次方=cost，(y/a)开3次方=sint.
由cos^2t+sin^2t=1,易得:(x/a)^(2/3)+(y/a)^(2/3)=1
[3]参数方程的参数t和极坐标里的θ没有什么必然关系.
θ是在极坐标系里曲线上一点m与极点o连线与极轴之间的夹角.而t是为了表示x、y之间的关系而引入的第三个变量即为“参变量”.
可参考以下内容:
(1)先说曲线方程.
一条曲线可以看做由许多点集合而成。因每一点在平面直角坐标系中都有一对坐标x和y。尽管同一个曲线上各点的坐标x，y不一样，但是每一点的x和y之间的关系却具有共同的规律.这种共同的规律我们可以用一个函数关系式来表示,即为该曲线的曲线方程.例:x^2+y^2=a^2.
(2)曲线的参数方程.
曲线方程是y跟x之间的“直接”关系。参数方程不一样，除了x、y两个变量外，再引入第三个变量叫做“参变量”，然后分别写出x、y跟这个参变量之间的关系式.
对于在原点（0，0），半径为a的圆.如果p是这个圆上任意的一点，连接po，并把po跟x轴正方向之间的夹角∠pox用t表示.当p点在圆上的位置变化时，t的大小也会跟着变化.这就说明，这个t，也是一个“变量”.而且t跟p点的坐标x、y之间有函数关系.由三角函数的知识，可以分别写出x、y跟t之间的函数关系式（方程）：y=asint,x=acost.
{其中半径a是不变的常量，x、y和t是变量，而且t是“自变量”，x和y都是t的函数。我们把t这种变量叫做“参变量”，把这个方程叫做“圆心在原点的圆的参数方程”.}
在参数方程里，x和y是通过参变量这个“第三者”来接上关系的.
(3)极坐标方程
其跟直角坐标下的曲线方程的意义相类似的.直角坐标系中是用x和y一对坐标来确定点的位置的，直角坐标系中的曲线方程，是曲线上任意一点的坐标y跟x的函数关系式.极坐标系中是用ρ（极径――距离）和θ（极角――方向）这一对“极坐标”来确定点的位置.曲线的极坐标方程是曲线上任意一点的极坐标ρ跟θ的函数关系式.

Answer 2

因为极坐标方程是这样x=arcos@，y=brsin@，而不是你的x=acos@，y=bsin@，你这个是椭圆的曲线，而不是面积元。
又因@是【0,2pi】，其中r【0,1】，代表椭圆的面积，所以用二重积分上下限就可以了，再说夹克比行列式子j=det（d（x，y）|d（r，@））=abr
所以带入积分就可以了最后你们都会算的积分f（2pi-0）d@（1-0）abrdr
贵州师大

Answer 3

那他当然不对了 你把x=a·cos@
y=b·sin@ 改为x=a*rcos@ y=b*rsin@ r范围是0到1就行了