Question

已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足:①对任意x,y∈(-∞,0)∪(0,+∞)，f（xy）=f（x）+f（y）；

②当x＞1时，f（x）＞0，且f(2)=1. （1）试判断函数f（x）的奇偶性，（2）判断函数f（x）在(0,+∞)上的单调性，(3)求函数f（x）在区间[-4,0]∪(0,4]上的最大值

Answer 1

解：（1）∵取x=y=1有f(1*1)=f(1)+f(1)，
∴f(1)=0
取x=y=-1，则f(1) =f(-1)+f-(1)=0
∴f(-1)=0
∴取y=1/x ，则f(x)+f(1/x）= f(1)=0
取y=-1/x ，则f(-x)+f(1/x)= f(-1)=0
∴f(x)=f(-x）
∴f(x) 是偶函数。
⑵设0<x1<x2，则x2/x1>1
f（x2）=f(x1*x2/x1)=f（x2/x1）+f（x1）f（x2）-f（x1）=f（x2/x1）>0f（x1）<f（x2）所以为增函数
⑶∵f(x)在（0，+∞）上是单调增函数
∴f(x)在区间（0，4]上的最大值是f(4)；
∵f(x) 是偶函数。
∴f(x)在（-∞，0）上是单调减函数
∴f(x)在区间[-4，0）上的最大值是f(-4)=f(4)；
而f(4)= f(2)+f(2)=1+1=2

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