Question

已知函数f(x)=x²－2|x|+2的定义域为[a,b](其中a﹤b),值域为[2a,2b],则符合条件的数组(a,b)为

则符合条件的数组(a,b)为？不要复制这里的http://zhidao.baidu.com/question/416376954.html
要详尽一些

Answer 1

首先

f(x)=|x|^2-2|x|+2

     =(|x|-1)^2+1≥1

把|x|看成变量的话，这是一开口向上的对称轴为1的抛物线

所以

2a≥1

a≥1/2

分类讨论

1. 1/2≤a<b<1

   所以|b|>|a|且x=b更接近于对称轴

   所以f(a)=2b,f(b)=2a

   即a^2-2a+2=2b

   b^2-2b+2=2a

   两者一减

   (a-b)(a+b)-2(a-b)=2(b-a)

   (a-b)(a+b)=0

   因为a<b,a-b≠0,而b>a≥1/2, a+b>0

   所以不可能

2. 1/2≤a<1<b

   所以最小值即为顶点，2a=1,a=1/2

   有两种可能

   (i) b-1<1-a, 即a离对称轴更远

   所以最大值为f(a)=2b, 2b=5/4, b=5/8<1矛盾

   (ii) b-1>1-a, 即b离对称轴更远

   所以最大值为f(b)=2b, b^2-4b+2=0, b=2+根号2  (舍去小于1的根)

3. 1<a<b

   所以最大值是f(b)=2b

   最小值是f(a)=2a

   b^2-2b+2=2b

   a^2-2a+2=2a

   a，b必然有一根小于1，矛盾

综上

a=1/2,b=2+根号2