Question

已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC 边上的点，且AE⊥EF于点E。（1）延长EF交正方形ABCD的外

已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC 边上的点，且AE⊥EF于点E。（1）延长EF交正方形ABCD的外角平分线CP于点P，试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；（2）在AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）结论：AE=PE，理由如下： 如图（1），在AB上截取BN=BE，连接AE， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC，∠B=90°， ∴AN=EC，∠1=∠2=45°， ∴∠4=l35°， ∵CP为正方形ABCD的外角平分线，  ∴∠PCE=135°， ∴∠PCE=∠4， ∵∠AEP=90°， ∴∠BEA+∠3=90°， ∵∠BAE+∠BEA=90°，∠3=∠BAE， ∴△ANE≌△ECP， ∴AE=EP；
（2）存在点M使得四边形DMEP是平行四边形，证明如下： 如图（2），过点D作DM∥PE，交AE于点K，交AB于点M，连接ME、DP， ∴∠AKD=∠AEP=90°， ∵∠BAD=90°， ∴∠ADM+∠AMD=90°， 又∠MAK +∠AMD=90°， ∴∠ADM=∠MAK， ∵AD=AB，∠B=∠DAB， ∴△AMD≌△BEA， ∴DM=AE， ∴DM=EP， ∴四边形DMEP为平行四边形。