若∫+∞af(x)dx收敛，f(x)x在[a，+∞）上单调下降，求证limx→+∞xf（x）=0
若∫+∞af(x)dx收敛，f(x)x在[a，+∞）上单调下降，求证limx→+∞xf（x）=0．...
若∫+∞af(x)dx收敛，f(x)x在[a，+∞）上单调下降，求证limx→+∞xf（x）=0．
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因为
f(x)dx收敛，
所以当x→+∞时，有：
f(t)dt→0，
f(t)dt→0．
因为
为单调下降函数，所以，
f(t)dt＝
t
dt≤
t
dt＝
tdt＝
xf(x)，
f(t)dt＝
t
dt≥
t
dt＝
tdt＝
xf(x)，
因此，
f(t)dt≤xf(x)≤
f(t)dt．
令x→+∞，由夹逼定理可得，
xf(x)＝0．
| ∫ | +∞ a |
所以当x→+∞时，有：
| ∫ | 2x x |
| ∫ | x
|
因为
| f(x) |
| x |
| ∫ | 2x x |
| ∫ | 2x x |
| f(t) |
| t |
| ∫ | 2x x |
| f(x) |
| x |
| f(x) |
| x |
| ∫ | 2x x |
| 3 |
| 2 |
| ∫ | x
|
| ∫ | x
|
| f(t) |
| t |
| ∫ | x
|
| f(x) |
| x |
| f(x) |
| x |
| ∫ | x
|
| 3 |
| 8 |
因此，
| 2 |
| 3 |
| ∫ | 2x x |
| 8 |
| 3 |
| ∫ | x
|
令x→+∞，由夹逼定理可得，
| lim |
| x→+∞ |
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