Question

请教刘老师几个线性代数的问题。

1、讨论正定，合同的时候是不是特指对称矩阵，对于一个非对称矩阵，我们可以说它正定或者与另外一个矩阵合同吗？
2、合同与相似有什么关系（可以互推吗？有什么前提条件）？我理解，若A正交合同B则A，B相似对吗？
3、对称阵与他的合规范形合同吗？合同的话变换矩阵怎么求？
希望刘老师为我指点迷津，谢谢！

Answer 1

这些问题我来替刘老师回答吧

1. 大多数时候讨论正定, 合同会针对实对称矩阵(或者Hermite矩阵), 因为这些变换和性质主要为讨论二次型服务, 而二次型的表示矩阵通常选成对称的

但是一般来讲不要默认这一点, 因为矩阵论中有专门研究非对称矩阵的合同变换以及非对称正定矩阵的分支, 所以任何情况下都要先讲清楚矩阵是否有对称性(或共轭对称性)

2. 对于实对称矩阵而言, 相似可以推出合同, 但反过来不行
合同不能推出相似是显然的, 因为A和4A合同, 但除非是零矩阵, 否则一定不相似
相似推合同则需要谱分解定理, 两个实对称矩阵相似则必定正交相似, 而正交相似变换既是相似变换也是合同变换, 从而推出合同

3. 既然是合同规范型, 也就是"在合同变换下的标准形式", 自然是一定存在相应的合同变换的
至于合同变换的求法, 只要掌握普通的Gauss消去法就行了

对于对称矩阵, Gauss消去法的矩阵形式是PAP^T=LDL^T, 其中P是排列阵, L是下三角阵, D是对角块不超过2阶的块对角阵, 也就是说用Gauss变换逐步将A化到块对角形, 其中可能会适当做一些行列重排. 最后再将块对角阵D合同变换到标准形式即可
找两个四五阶的例子动手算一遍就会了, 一般的教材里都有

追问

谢谢你的详细回答!关于“实对称矩阵相似一定合同”，是说若A，B同为实对称矩阵的话，则A相似于B可以推出A合同于B；还是说实对称矩阵A为实对称矩阵，存在B与A相似（B不一定是对称阵)可以推出A合同于B；还是说与实对称矩阵相似的矩阵一定也是实对称的。这三个说法哪个对，书上都没有，自己想起来好费劲，晕了。

追答

“实对称矩阵相似一定合同”要求A,B都是实对称矩阵
如果仅仅有A对称以及B=PAP^{-1}, 而没有B的对称性, 这是不可能推出A与B合同的, 比如
A=
1 0
0 2
B=
1 1
0 2
因为与A合同的矩阵CAC^T一定都是对称矩阵, B不可能与A合同