Question

设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式．3tSn-（2t+3）Sn-1=3t（其中t＞0，n=2，3，4，…）（1）求

设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式．3tSn-（2t+3）Sn-1=3t（其中t＞0，n=2，3，4，…）（1）求证：数列{an}是等比数列．（2）设数列{an}的公比为f（t），作数列{bn}，使b1=1，bn=f(1bn?1)（n=2，3，4…）求数列{bn}的通项公式．（3）求和Sn=b1b2-b2b3+b3b4 -…+（-1）n-1bnbn+1．

Answer 1

（1）∵3ts_n-（2t+3）s_n-1=3t∴3ts_n-1-（2t+3）s_n-2=3t（n＞2）
两式相减可得3t（s_n-s_n-1）-（2t+3）（s_n-1-s_n-2）=0
整理可得3ta_n=（2t+3）a_n-1（n≥3）
∴

an

an?1

＝

2t+3

3t

∵a₁=1∴a2＝

2t+3

3t

即

a2

a1

＝

2t+3

3t

数列{a_n}是以1为首项，以

2t+3

3t

为公比的等比数列
（2）由（1）可得f（t）=

2t+3

3t

在数列{b_n}中，bn＝f(

1

bn?1

)＝

2 1 bn?1 + 3

3  1 bn?1

＝

3bn?1+2

3

=bn?1+

2

3

∴bn?bn?1＝

2

3

数列{b_n}以1为首项，以

2

3

为公差的等差数列
∴bn＝1+(n?1)×

2

3

＝

2n

3

+

1

3

（3）当n为偶数时S_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+（-1）^n-1b_nb_n+1
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_n（b_n-1-b_n+1）
=?

4

3

( b2+ b4+…+bn)
=?

1

9

(2n2+6n)
 当n为奇数时S_n=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_n（b_n-1-b_n+1）+b_nb_n+1
=?

4

3

(b2+b4+…+ bn?1) +bnb