Question

已知函数f（x）=x 2 ，g（x）=x-1．（1）若?x∈R使f（x）＜b?g（x），求实数b的取值范围；（2）设F（x）=

已知函数f（x）=x 2 ，g（x）=x-1．（1）若?x∈R使f（x）＜b?g（x），求实数b的取值范围；（2）设F（x）=f（x）-mg（x）+1-m-m 2 ，且|F（x）|在[0，1]上单调递增，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）由?x∈R，f（x）＜b?g（x），得?x∈R，x 2 -bx+b＜0， ∴△=（-b） 2 -4b＞0，解得b＜0或b＞4， ∴实数b的取值范围是（-∞，0）∪（4，+∞）； （2）由题设得F（x）=x 2 -mx+1-m 2 ， 对称轴方程为 x= m 2 ，△=m 2 -4（1-m 2 ）=5m 2 -4， 由于|F（x）|在[0，1]上单调递增，则有：  ①当△≤0即 - 2 5 5 ＜m＜ 2 5 5 时，有 m 2 ≤0 - 2 5 5 ≤m≤ 2 5 5 ，解得 - 2 5 5 ≤m≤0 ，  ②当△＞0即 m＜- 2 5 5 或 m＞ 2 5 5 时，设方程F（x）=0的根为x 1 ，x 2 （x 1 ＜x 2 ）， 若 m＞ 2 5 5 ，则 m 2 ＞ 5 5 ，有 m/2≥1 x 1 ＜0?F(0)=1- m 2 ＜0. 解得m≥2； 若 m＜- 2 5 5 ，即 m 2 ＜- 5 5 ，有x 1 ＜0，x 2 ≤0；得F（0）=1-m 2 ≥0，有-1≤m≤1， ∴ -1≤m＜- 2 5 5 ； 综上所述，实数m的取值范围是[-1，0]∪[2，+∞）．