Question

（2013?泸州）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD2=CA?CB；（2）

（2013?泸州）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD2=CA?CB；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=23，求BE的长．

Answer 1

（1）证明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ADC∽△DBC，
∴

AC

DC

=

DC

BC

，即CD²=CA?CB；

（2）证明：如图，连接OD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠1+∠3=90°．
∵OA=OD，
∴∠2=∠3，
∴∠1+∠2=90°．
又∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1，
∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°，
∴OD⊥CD．
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；

（3）解：如图，连接OE．
∵EB、CD均为⊙O的切线，
∴ED=EB，OE⊥DB，
∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，
∴∠ABD=∠OEB，
∴∠CDA=∠OEB．
而tan∠CDA=

2

3

，
∴tan∠OEB=

OB

BE

=

2

3

，
∵∠ODC=∠EBC=90°，∠C=∠C，
∴Rt△CDO∽Rt△CBE，
∴

CD

CB

=

OD

BE

=

OB

BE

=

2

3

，
∴CD=8，
在Rt△CBE中，设BE=x，
∴（x+8）²=x²+12²，
解得x=5．
即BE的长为5．