Question

已知z是复数，z+2i与z2?i均为实数（i为虚数单位），且复数（z+ai）2在复平面上对应点在第一象限．（Ⅰ）

已知z是复数，z+2i与z2?i均为实数（i为虚数单位），且复数（z+ai）2在复平面上对应点在第一象限．（Ⅰ）求z的值；（Ⅱ）求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）设z=x+yi（x，y∈R），
又z+2i=x+（y+2）i，且为实数，∴y+2=0，解得y=-2．
∴

z

2?i

=

x?2i

2?i

=

(x?2i)(2+i)

(2?i)(2+i)

=

(2x+2)+(x?4)i

5

，
∵

z

2?i

为实数，∴

x?4

5

=0，解得x=4．
∴z=4-2i
（Ⅱ）∵复数（z+ai）²=[4+（a-2）i]²=16-（a-2）²+8（a-2）i=（12+4a-a²）+（8a-16）i，
∴

12+4a?a2＞0 8a?16＞0

，解得2＜a＜6．
即实数a的取值范围是（2，6）．