Question

如图，在边长为1的正方形ABCD中，点G是BC边上的任意一点（不同于端点B、C），连接AG，过B、D两点作BE⊥AG

如图，在边长为1的正方形ABCD中，点G是BC边上的任意一点（不同于端点B、C），连接AG，过B、D两点作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E、F．（1）求证：△ABE≌△DAF；（2）若△ADF的面积为18，试求|BE-DF|的值．

Answer 1

（1）证明：如图，

∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=AB，∠1+∠2=90°
又∵BE⊥AG，DF⊥AG
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°
∴∠2=∠3，∠1=∠4
在△ADF和△BAE中

∠1＝∠4 AD＝AB ∠2＝∠3

∴△ADF≌△BAE（ASA）．

（2）∵△ADF≌△BAE．
∴AF=BE
在Rt△ADF中，
DF²+AF²=AD²-1

1

2

DF×AF=

1

8

，
即2DF×AF=

1

2

∴DF²+AF²-2DF=1-

1

2

（DF-AF）²=

1

2

|DF-AF|=

2

2

∵AF=BE
∴|DF-BE|=

2

2

即|BE-DF|=

2

2

．

Answer 2

解：1、证明：AD=AB=1
由题意∠AFD=∠BEA=∠DAF+∠BAE=∠DAF+∠ADF=90°
可得∠ADF=∠BAE
所以△ABE≌△DAF(AAS)
2、由三角形ADF为直角三角形得：
DF²+AF²=AD²
又因为AF=BE
且1/2DF×AF=1/8，
化简得2DF×AF=1/2
所以DF²+AF²=1
所以DF²+AF²-2DF=½
配方得(DF-AF)²=1/2
|DF-AF|=sqrt(2)/2
由AF=BE得：
|DF-BE|=sqrt(2)/2
即|BE-DF|=sqrt(2)/2