Question

如图，在△ABC中，AB=AC，点D在CB的延长线上，连接AD．（1）求证：AD2-AB2=BD?CD；（2）若点D在CB上，上

如图，在△ABC中，AB=AC，点D在CB的延长线上，连接AD．（1）求证：AD2-AB2=BD?CD；（2）若点D在CB上，上述结论将会有什么变化，试证明你的新结论．

Answer 1

解答：（1）证明：如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵AB=AC，
∴BE=CE，
在Rt△ADE中，AD²-AE²=DE²，
在Rt△ACE中，AC²-AE²=CE²，
两式相减得，AD²-AC²=DE²-CE²=（DE-CE）（DE+CE）=（DE-BE）CD=BD?CD，
即AD²-AB²=BD?CD；

（2）结论为：AC²-AD²=BD?CD．
证明如下：与（1）同理可得，AD²-AE²=DE²，AC²-AE²=CE²，
∵点D在CB上，
∴AB＞AD，
∴AC²-AD²=CE²-DE²=（CE-DE）（CE+DE）=（BE-DE）（CE+DE）=BD?CD，
即AC²-AD²=BD?CD．