（2010?泰安二模）如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，O在AB上，且OB＝OC＝23AB，又P0⊥平面ABC，DA∥PO，
（2010?泰安二模）如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，O在AB上，且OB＝OC＝23AB，又P0⊥平面ABC，DA∥PO，DA＝AO＝12PO．（I）求证：PD...
（2010?泰安二模）如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，O在AB上，且OB＝OC＝23AB，又P0⊥平面ABC，DA∥PO，DA＝AO＝12PO．（I）求证：PD⊥平面COD；（II）求二面角A-BC-D的余弦值．
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解答：
证明：（I）设OA=a，PO=OB=2a，DA=a，
由DA∥PO，且PO⊥平面ABC，
知DA⊥平面ABC．
从而PD＝DO＝
a，
在△PDO中∵PD＝DO＝
a，PO＝2a∴△PDO为直角三角形，
故PD⊥DO（3分）
又∵OC=OB=2a，∠ABC=45°，∴CO⊥AB
又PO⊥平面ABC，∴CO⊥平面PAB，
故CO⊥PD．
∵CO与DO相交于点O．
∴PD⊥平面COD，（6分）
（II）∵DA⊥平面ABC
过A作AE⊥BC，垂中为E
连接DE，则∠DEA为二面角A-BC-D的平面角（8分）
在△ABC中，BC?AE=AB?OC
∴AE＝
＝
＝
a
DE＝
＝
＝
a
cos∠DEA＝
＝
＝
所以二面角A-BC-D的余弦值为
．（12分）
证明：（I）设OA=a，PO=OB=2a，DA=a，由DA∥PO，且PO⊥平面ABC，
知DA⊥平面ABC．
从而PD＝DO＝
| 2 |
在△PDO中∵PD＝DO＝
| 2 |
故PD⊥DO（3分）
又∵OC=OB=2a，∠ABC=45°，∴CO⊥AB
又PO⊥平面ABC，∴CO⊥平面PAB，
故CO⊥PD．
∵CO与DO相交于点O．
∴PD⊥平面COD，（6分）
（II）∵DA⊥平面ABC
过A作AE⊥BC，垂中为E
连接DE，则∠DEA为二面角A-BC-D的平面角（8分）
在△ABC中，BC?AE=AB?OC
∴AE＝
| AB?OC |
| BC |
| 3a?2a | ||
2
|
3
| ||
| 2 |
DE＝
| DA2+AE2 |
a2+(
|
| ||
| 2 |
cos∠DEA＝
| AE |
| DE |
3
| ||
|
3
| ||
| 11 |
所以二面角A-BC-D的余弦值为
3
| ||
| 11 |
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