Question

如图所示，一辆质量为1.5kg的小车静止在光滑水平面上，一个质量为0.50kg的木块，以2.0m/s的速度水平滑上

如图所示，一辆质量为1.5kg的小车静止在光滑水平面上，一个质量为0.50kg的木块，以2.0m/s的速度水平滑上小车，最后与小车以相同的速度运动．小车上表面水平，木块与车上表面的动摩擦因数是0.20．g取10m/s2，求（1）木块与小车共同运动的速度的大小；（2）木块在小车上相对滑行的时间；（3）设小车与光滑水平面足够长，若水平面右端也有一高度与左端一样的平台，且小车与两边平台碰撞过程中均没有能量损失，求从木块滑上小车开始到木块与小车第n共同运动的时间及木块在小车上滑行的路程．

Answer 1

（1）根据运动过程中动量守恒得：
mv₀=（M+m）v₁
解得：v1＝

m

M+m

v0=0.5m/s
（2）根据动量定理得：
μmgt=Mv₁-0
t1＝

Mv0

(M+m)μg

=0.75s
（3）若M＞m，从第一次木板以v₁反弹开始，有
Mv₁-mv₁=（M+m）v₂
Mv₂-mv₂=（M+m）v₃…
Mv_n-1-mv_n-1=（M+m）v_n
解得：
v2＝

M?m

M+m

v1
v3＝

M?m

M+m

v2
…
vn＝

M?m

M+m

vn?1=(

M?m

M+m

)n?1

m

M+m

v0
根据动能定理得：
μmgx1＝

1

2

mv02?

1

2

(M+m)v12
μmgx2＝

1

2

mv12?

1

2

(M+m)v22
…
μmgxn＝

1

2

mvn2?

1

2

(M+m)vn?12
解得：
x1＝

M

2μg(M+m)

v02
x2＝

2M

μg(M+m)

v12
x3＝

2M

μg(M+m)

v22＝

2M

μg(M+m)

(

M?m

M+m

)2v12

xn＝

2M

μg(M+m)

vn?12＝

2M

μg(M+m)

(

M?m

M+m

)2(n?2)v12

x₂，x₃，x₄，…x_n是一个首项为

2M

μg(M+m)

v

2 1

公比为(

M?m

M+m

)2 的等比数列，共有n-1项
Sn＝x1+

2M

μg(M+m)

v

2 1

n

n＝2

(

M?m

M+m

)2(n?2)
=x1+

2M

μg(M+m)

v

2 1

?

1?( M?m M+m )2(n?1)

1?( M?m M+m )2

=

M

2μg(M+m)

v

2 0

+

2M

μg(M+m)

v

2 1

?

1?( M?m M+m )2(n?1)

1?( M?m M+m )2

=

M

2μg(M+m)

v

2 0

+

2M

μg(M+m)

?(

m

M+m

)2

v

2 0

?

1?( M?m M+m )2(n?1)

1?( M?m M+m )2

=

M v 2 0

2μg(M+m)

+

m v 2 0

2μg(M+m)

?[1?(

M?m

M+m

)2(n?1)]
在板上滑行的时间（不包含从共速至与平台碰撞的时间）
-μmgt₂=Mv₂-Mv₁
-μmgt₃=Mv₃-Mv₂…
-μmgt_n=Mv_n-Mvn-1
t2＝

2M

μg(M+m)

v1
t3＝

2M

μg(M+m)

v2=

2M

μg(M+m)

 ?

M?m

M+m

v1