Question

已知f（x）=ax2-2ax+2+b=0（a≠0）在[2，3]上的最大值为5，最小值为2．（1）求a，b的值；（2）当b＞1时，

已知f（x）=ax2-2ax+2+b=0（a≠0）在[2，3]上的最大值为5，最小值为2．（1）求a，b的值；（2）当b＞1时，f（x）＞-4x+m在[2，4]上恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）根据题意知函数f（x）的对称轴为x=1，
①当a＞0时，函数的开口方向向上，在区间[2，3]上单调增，则有

f(2)＝4a?4a+2+b＝2 f(3)＝9a?6a+2+b＝5

，求得a=1，b=0，
②当a=0函数没有最大和最小值，不符合题意．
③当a＜0时，函数的开口方向向下，在区间[2，3]上单调减，则有

f(2)＝4a?4a+2+b＝5 f(3)＝9a?6a+2+b＝2

，求得a=-1，b=3．
（2）由（1）知，当b＞1时求得a=-1，b=3．
则函数f（x）的解析式为f（x）=-x²+2x+5，在区间[2，4]上单调减，图象的最低点为（4，-3），
要使不等式恒成立需g（x）=-4x+m，在区间[2，4]上在点（4，-3）的下方，则有-16+m＜-3，
求得m＜13．