Question

已知定义域为（0，+∞）上的单调递增函数f（x），满足：?x∈（0，+∞），有f（f（x）-lnx）=1，则方程f（

已知定义域为（0，+∞）上的单调递增函数f（x），满足：?x∈（0，+∞），有f（f（x）-lnx）=1，则方程f（x）=-x2+4x-2解的个数为（　　）A．0B．1C．2D．3

Answer 1

解答：解：由于定义域为（0，+∞）上的单调递增函数f（x）满足f（f（x）-lnx）=1，f（x）=-x²+4x-2，
故必存在唯一的正实数a，使f（x）-lnx=a，f（a）=1 ①，
∴f（a）-lna=a ②．
由①②求得a=1，故f（x）=1+lnx，方程f（x）=-x²+4x-2，即 1+lnx=-x²+4x-2，即-x²+4x-3=lnx．
故方程解的个数即函数y=-x²+4x-3的图象和函数 y=lnx 的图象的交点个数．
数形结合可得函数y=-x²+4x-3的图象和函数 y=lnx 的图象的交点个数为3，
故选：D．