Question

已知函数f(x)=lnx-(a/x) （1）当a>0时，判断f(x)在定义域上的的单调性 （2）

若f（x)在[1,e]上的最小值为2，求a的值

Answer 1

求导f'(x)=(1/x)+(a/x²）=（x+a）/x²
x不能为0
所以x²>0
当x+a>0时，x>-a, 导数大于0，即x∈[-a,0)∪（0，+无穷）单调递增
当x+a<0时，x<-a, 导数小于0，即x∈（-无穷，-a）单调递减
（2）求f'(x)=（x+a）/x²=0 x=-a
当-a<1时及 a>-1时 f'(x)=（x+a）/x²（在[1,e]上）>0
f(x)在[1,e]上>0 单调递增
f（x）min=f（1）=-a=2 a=-2 不成立

当-a∈[1，e]时及 a∈[-e,-1]时 f'(x)=（x+a）/x²>0在[-a,e]上>0 单调递增
f（x）min=f（-a)=ln（-a）+1=2
ln(-a)=1
-a=e
a=-e

当-a>e时及 a<-e时 f'(x)=（x+a）/x²（在[1,e]上）<0
f(x)在[1,e]上<0 单调递减
f（x）min=f（e）=1-a/e=2 a/e=-1 a=-e不成立

综上 a=-e