Question

求xln(1+e^x)dx在(-1，1)上的定积分！！

求定积分∫xln(1+e^x)dx在(-1，1)上的积分。求详解！！

Answer 1

计算过程如下：

∫(-1→1)x*ln(1+e^x)dx

=∫(-1→0)x*ln(1+e^x)dx +∫(0→1)x*ln(1+e^x)dx

∫(-1→0)x*ln(1+e^x)dx

设y=-x，x=-y

原式=∫(1→0)(-y)*ln[1+e^(-y)]d(-y)

=∫(1→0)y*ln[1+e^(-y)]dy

=∫(1→0)y*ln[(e^y+1)/e^y]dy

=∫(1→0)y*ln(e^y+1)dy -∫(1→0)y*ln(e^y)dy

=-∫(0→1)y*ln(1+e^y)dy +∫(0→1)y^2dy

即∫(-1→0)x*ln(1+e^x)dx

=-∫(0→1)x*ln(1+e^x)dx +∫(0→1)x^2dx

故∫(-1→1)x*ln(1+e^x)dx

=∫(-1→0)x*ln(1+e^x)dx +∫(0→1)x*ln(1+e^x)dx

=-∫(0→1)x*ln(1+e^x)dx +∫(0→1)x^2dx +∫(0→1)x*ln(1+e^x)dx

=∫(0→1)x^2dx

=[x^3/3]|(0→1)

=2^3/3

=8/3

定积分的意义：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

Answer 3

手机不好操作，等等给你答案